Integración

Antiderivada

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces , F(x) = x3, es una antiderivada de Observe que no existe una derivada única para cada función. por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

Integral indefinida

Definición. Sea f una función, se dice que F, función derivable, es una primitiva de f si se verifica F ’=f

Ejemplo 1. Si f(x)= 3x² una primitiva es F(x)= x³. Otra G(x)= x³+7

Proposición.1. Si F es una primitiva de f entonces F+C también lo es.

Integración con condiciones iniciales

Hemos dicho que la ecuación y =∫f(x) dx admite infinitas soluciones que difieren en una constante. Esto significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de f son traslaciones verticales una de la otra.

Por ejemplo, en la figura de la izquierda mostramos varias gráficas de primitivas de la forma:

y = ∫ (3x2 − 1) dx = x3 − x + C

(Solución general) para diversos valores enteros de Cada una de esas primitivas es una solución de la ecuación

dy = 3x2 − 1

Una solución particular de esta ecuación será una única primitiva, es decir, conocemos el valor de la constante C.

Formulas básicas de integración

Integral indefinida de una constante

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Ejemplo

Integral de una constante por una variabe

Integral xⁿ

xⁿ dx = x⁽ⁿ⁺¹⁾ / (n+1) + C (n -1)
Demostración

1/x dx dx = ln|x| + C

Integral de e^n

Integral de una constante por una función de x

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Integral de una suma (diferencia) de funciones

[f(x) ± g(x)] dx

f(x) dx

g(x) dx

En palabras:

La integral de la suma de dos funciones es la suma de las integrales de las funciones individuales, y la integral de la diferencia de dos funciones es la diferencia de las integrales de las funciones individuales.

Regla de múltiples constantes:

kf(x) dx

f(x) dx

(k constante)

En palabras:

Para tomar la integral de una constante multiplicada por una función, se toma la integral de la función sola, y después se multiplica la respuesta por la constante. (En otras palabras el constante "sigue para el paseo".

¿Por qué son válidas estas reglas? Porque la derivada de una sum es la suma de las derivadas, y el caso es parecido para diferencias y múltiplos constantes.

Regla de la potencia

La regla de la potencia de la integración te da la solución general para la integral de cualquier variable elevada a cualquier potencia excepto -1, lo que representa un caso especial. Ya que las integrales son primitivas, en otras palabras, si integras la derivada de una función, terminas con la función original, piensa en la regla de la potencia de la integración como hacer lo contrario de lo que hace la regla de la potencia para los derivados.

Convierte las raíces cuadradas, raíces de otras potencias y potencias en los denominadores a las funciones de potencia estándar. La raíz cuadrada de x es igual a x ^ (1/2), la raíz cúbica de x es igual a x ^ (1/3) y así sucesivamente para las otras raíces. Para mover una potencia del denominador al numerador, toma la inversa de la potencia: 1 / x ^ 2 = x ^ -2, por ejemplo.

Agrega uno al poder. Para int [(x ^ 3) dx], por ejemplo, x ^ 3 se convierte en x ^ 4.

Divide el resultado entre el nuevo poder. Por ejemplo, x ^ 4 se convierte en (x ^ 4) / 4

Integral que incluye u^n