Introducción al calculo en dos variables

Funciones en dos variables

Una función de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de número
reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y). El conjunto D
es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir I={ f(x,y)|
(x,y)∈D}
Con frecuencia se escribe ( , )z f x y para hacer explícito el valor tomado por f en un punto
(x,y). En este caso se dice que x, y son las variables independientes, y z es la variable
dependiente.
Observe que la definición dada indica que el dominio es una parte o subconjunto del plano
cartesiano y la función le asigna a cada punto de ese segmento de plano, un único número real
comprendido en un intervalo de los números reales.

                                                        Derivadas parciales

Máximos y mínimos de funciones de dos variables   

La aplicación que mas nos va a interesar de las derivadas parciales es su utilización  para determinar máximos  y m ́ınimos locales o relativos, así como puntos de silla (que reemplazan a los puntos de inflexión en estas funciones). El nombre de punto de silla procede de que la función, en uno de esos puntos, tiene una forma similar a la de las sillas de montar a caballo. Los pasos que tendremos que dar son los siguientes:
1. Obtenemos las derivadas parciales de primer orden, ∂f y ∂f , y planteamos ∂x ∂y
y resolvemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
∂f
∂x ∂f
∂y

Los puntos que obtengamos como soluciones de este sistema serán los candidatos a ser máximos locales, mínimos locales o puntos de silla. Llamaremos (x0,y0) a cualquier punto que sea solución del sistema anterior. que m ́as nos va a interesar de las derivadas parciales es su utilización  para determinar máximos y m ́ınimos locales o relativos, ası como puntos de silla (que reemplazan a los puntos de inflexión en estas funciones). El nombre de punto de silla procede de que la funci ́on, en 
uno de esos puntos, tiene una forma similar a la de las sillas de montar a caballo. Los pasos que tendremos que dar son los siguientes:
1. Obtenemos las derivadas parciales de primer orden, ∂f y ∂f , y planteamos ∂x ∂y
y resolvemos el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos inc ́ognitas:
∂f
∂x ∂f
∂y
Los puntos que obtengamos como soluciones de este sistema serán los candidatos a ser máximos locales, mínimos locales o puntos de silla. Llamaremos (x0,y0) a cualquier punto que sea solución del sistema anterior. 

http://www.academatica.com/maximos-y-minimos-de-funciones-de-dos-variables/

Aplicaciones: optimización de funciones de dos variables que representen gastos, ingresos o utilidad. 

Función de costo

Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma

Costo = Costo variable + Costo fijo

en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma

C(x) = mx + b

se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b.La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

Función de ingreso

El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función lineal I(x) = mx y el precio de venta m se puede tamién llamar ingreso marginal.

Ejemplo

Suponga que su casa editorial vende libros ciencia ficción rústicos a una detallisa para $6.50 por libro. Entonces

I(x) = 6.50x dolares.

El ingreso marginal es m = $6.50 por libro.

Función utilidad

La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal. La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula:

Utilidad                =             Ingreso − Costo

U            =             I − C

Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o

I = C                       Equilibrio

El puno equilibrio es el número de articulos x a lo cual presenta el equilibrio.

Ejemplo

Si regresamos al ejemplo de las novelas ciencia ficción, ya tenemos las funciones costo y ingreso:

C(x) = 3.50x + 1200 dollars.          Costo diario de imprimir x libros

I(x) = 6.50x dollars.                         Ingresos por la venta de x libros

Conclusión: 

Aprendí como determinar gastos, ingresos o utilidades con la funcion de dos variables y las derivadas parciales.