Sistemas de ecuaciones lineales

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + .....................+a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + .....................+a_2nx_n = b₂

...............................................................

a_m1x₁ + a_m2x₂ + .....................+a_mnx_n = b_m

x_i son las incógnitas, (i = 1, 2,...,n).

a_ij son los coeficientes, (i = 1, 2,..., m), (j = 1, 2,..., n).

b_i son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).

m, n

m > n, ó m = n, ó m < n.

Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.

Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...

Cuando b_i = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Definición

Una ecuación lineal con n incógnitas x₁, ..., x_n es una ecuación que se puede escribir en la forma a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ... + a_nx_n = b (1), donde las a-es se llaman coeficientes de los x y el número b se llama término constante. Se asume que las a-es y la b son valores conocidos.

Una n-tupla de números (s₁, ..., s_n) es una solución de la ecuación (1) si y solo si:

a₁s₁ + a₂s₂ + a₃s₃ + ... + a_ns_n = b.

Sistema de ecuaciones lineales: consistentes, inconsistentes y su representación para métrica el conjunto de solución.

Métodos para resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método gráfico, igualación, sustitución, y eliminación

método gráfico:

El método gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal muy limitado en cuanto al número de variables pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad.
igualación:

El método de igualación:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{l} a = b \\ a = c \item \end{array} \right.$

donde $a$ , $b$ , y $c$ representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

$b = c$

Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en $a$ ni en $b$ , entonces la ecuación

$b = c$

no contendría dicha incognita.

Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos $x$ .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye $x$ por su solución en otras ecuaciones dode aparezca $x$ para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 2x - 3y = -1 \\ 2x + 4y = 6 </pre> \end{array} \right.$

es equivalente a este otro

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 2x = -1 + 3y \\ 2x = 6 -4y </pre> \end{array} \right.$

El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en $y$ del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

$-1 + 3y = 6 - 4y$

que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es $y = 1$ .

Sustituyendo $y$ por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es $x = 1$ .

Método de sustitución:

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Entonces podemos despejar $a$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

$\left( \, f - e \, \right) \cdot b + c = d$

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.

Aquí $a, \, b, \, c, \, d, \, e$ y $f$ son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema.

Ejemplo

Intentemos resolver

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 4x + 3y = 7 \\ 2x - y = 1 </pre> \end{array} \right.$

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

$2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7$

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

$2x = 1 + y$

Sustituyendo $2x$ por $1 + y$ en

$2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7$

se tiene que

$2 \cdot \left( \, 1 + y \, \right)+ 3y = 7$

que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es $y = 1$ .

Sustituyendo $y$ por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incognita

$4 + 3y = 7$

cuya solución es $x = 1$ .

Sistema de ecuaciones equivalentes

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son aquellos que tienen las mismas soluciones o raíces, aunque posean distintos números de ecuaciones. Una de las reglas de equivalencia en los sistemas de ecuaciones es que si a ambos miembros de una ecuación les sumamos o restamos una misma cantidad (no una incógnita), dará como resultado un sistema equivalente (de esta se pasa de un miembro a otro miembro sumando lo que resta o restando lo que se suma).

Eliminación de gauss y gauss-jordan

Definición de matriz

Expresiones matricial de un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas es un sistema de la forma

La expresión matricial del sistema es
sistema matricial

Donde:
A=

es la matriz de coeficientes del sistema.X=

es la matriz de incógnitas.B=

es la matriz de términos independientes.
Luego un sistema lineal de ecuaciones se puede expresar matricialmente como A·X=B
Si la matriz de coeficientes es invertible, es decir, posee inversa entonces el sistema tiene solución A·X=B => A^-1·A·X=A^-1·B => X=A^-1·B·.

operaciones elementales sobre renglones.

Puede cambiar los renglones de una matriz para obtener una matriz nueva.

En el ejemplo anterior mostrado, movimos el Renglón 1 al Renglón 2, el Renglón 2 al Renglón 3, y el Renglón 3 al Renglón 1. (La razón para hacer esto es conseguir que el 1 esté en la esquina superior izquierda.)

Reducción de gauss y gauss-jordan

Álgebra de matrices

La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:

I_ij = 1 si i = j y I_ij = 0 si i ≠ j.

Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.

Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:

A+(B+C) = (A+B)+C	Regla asociativa de adición
A+B = B+A	Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A	Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A	Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB	Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA	Regla distributiva
1A = A	Unidad escalar
0A = O	Cero escalar
A(BC) = (AB)C	Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A	Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC	Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC	Regla distributiva
OA = AO = O	Multiplicación por matriz cero
(A+B)^T = A^T + B^T	Trasposición de una suma
(cA)^T = c(A^T)	Trasposición de un producto escalar
(AB)^T = B^TA^T	Trasposición de un producto matriz

La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general

Tipos de matrices

MATRIZ FILA: está conformada por una única fila.

MATRIZ COLUMNA: esta clase de matriz se conforma por una sola columna.

MATRIZ RECTANGULAR: se caracteriza por presentar un número diferente de filas que de columnas. Su dimensión es m x n.

MATRIZ CUADRADA: presenta la misma cantidad de filas que de columnas. Los elementos que van desde la esquina superior izquierda hacia la esquina inferior derecha constituyen la diagonal principal.

MATRIZ NULA: recibe este nombre debido a que esta conformada por todos ceros como elementos.

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: en esta clase de matriz los elementos ubicados por debajo de la diagonal superior son ceros.

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: aquí los elementos colocados por encima de la diagonal principal son ceros.

MATRIZ DIAGONAL: esta clase de matriz cuenta con la particularidad de que la totalidad de los elementos ubicados tanto por encima de la diagonal como por debajo de ella son nulos.

MATRIZ ESCALAR: es el nombre que recibe aquella matriz diagonal en la cual los elementos que conforman la diagonal principal son iguales.

MATRIZ IDENTIDAD: en ésta los elementos que componen la diagonal principal son iguales a 1.

MATRIZ TRASPUESTA: a partir de una matriz A, se denomina matriz traspuesta de A, a aquella matriz que se obtiene al cambiar de manera ordenada las filas por las columnas.

MATRIZ REGULAR: se denomina de esta manera a aquella matriz cuadrada que tiene inversa.

MATRIZ SINGULAR: es un tipo de matriz que no posee inversa.

operaciones con matrices

este video nos explica las operaciones

propiedades de las operaciones con matrices

http://www.vitutor.com/algebra/matrices/operaciones.html

en este link estan las propiedades.

Matriz inversa

Determinantes

Definición de determinante

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por